\(P=\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c}{4a}\)

\(P=\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)}+\frac{c}{4a}\)

Ta đặt \(\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y\Rightarrow\frac{c}{a}=xy\)

\(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{xy}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)

Thật vậy, bđt trên tương đương với:

 \(\left(xy+1\right)\left[\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2\right]\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+1\right)\left(x^2+y^2+2x+2y+2\right)\ge\left(x^2+2x+1\right)\left(y^2+2y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y^2x-x^2y^2-2xy+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\)luôn đúng

Suy ra: \(P\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{xy}{4}=\frac{1}{xy+1}+\frac{xy+1}{4}-\frac{1}{4}\) 

           \(P\ge2\sqrt{\frac{1}{xy+1}\frac{xy+1}{4}}-\frac{1}{4}\left(AM-GM\right)\)   

                \(=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b=  c = 2

Có cách UCT :)

\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\)

Xét BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{27\left(a-2\right)^2}{2\left(a-6\right)^2}\ge0\)(luôn đúng)

Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế..

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

Đó nhớ cho mình nha 

ap dung bdt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) 

\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{16}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}^2\right)\right]\)

\(\Rightarrow16P\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(a+c^2\right)}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)\(+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

ap dung \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) voi a+b=x, b+c=y, c+a=z

\(16P\le\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

tiếp tục áp dụng bdt ban đầu \(\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\le4.16.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow16P\le\frac{1}{4}.16\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\right]\)

=\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\right)\)

tiep tuc ap dung bo de thu 2 ta co 

\(16P\le\frac{1}{4}.4\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=3\)

\(\Rightarrow p\le\frac{3}{16}\)dau =khi a=b=c=1

Nguồn : mạng :V vào thống kê coi hình

Ta có: \(0< a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2< 3\Rightarrow a,b,c< \sqrt{3}< 2\)

Xét bất đẳng thức phụ: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left(2-a\right)}{2a}\ge0\)*đúng*

Áp dụng, ta được: \(P\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}.3=9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)

Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)

Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\)

\(\ge4+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\ge4+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\in\text{(}0;2\text{]}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lại có:

\(P\ge\frac{\left(bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)\(\ge\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left(1+\frac{ca}{ab}+\frac{bc}{ab}\right)^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left[1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\right]^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

Đặt \(x=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\left(x\in\text{(}0;2\text{]}\right)\) khi đó ta có:

\(P\ge\frac{3x^2}{2\left(1+x\right)^2}+\frac{4}{x}\) cần chứng minh \(P\ge\frac{8}{3}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(7x^2+22x+12\right)\le0\forall x\in\text{(0;2]}\)

Vậy \(Min_P=\frac{8}{3}\) khi a=b=c=2

Chỗ dùng cauchy- schwarz mình không hiểu lắm

Dùng Buniacoxki

=> MinP=9 khi a=b=c